Александр Вешняков родился в 1952 году в Архангельской области. В 20 лет он окончил Архангельское мореходное училище по специальности "судовой механик" и до 1979 года работал мотористом и механиком на судах. В начале 1990-х годов А.Вешняков стал депутатом Госдумы России, был советником министерства транспорта. В 1994 году он начал работать в Центральной избирательной комиссии и возглавил ее в 1999 году, а спустя четыре года был переизбран на второй срок. Свою карьеру в Центризбиркоме посол завершил в 2007 году.
Параллельно с работой в ЦИК Александр Вешняков учился в Российской дипакадемии.
Напомним, ранее сообщалось, что бывший председатель Центризбиркома (ЦИК) Вешняков получил от президента Владимира Путина предложение занять должность исполнительного секретаря СНГ, однако этому воспротивился президент Белоруссии Александр Лукашенко. После этого впервые появилась информация о том, что Вешняков может быть отправлен послом в одну из Европейских стран.