Воспитанник воскресенского хоккея, Вячеслав Козлов дебютировал во взрослом хоккее в сезоне 1987-1988 за "Химик". Он регулярно вызывался в молодежные сборные страны, становясь лучшим бомбардиром чемпионатов мира, в возрасте 18 лет принял участие в Кубке Канады. В сезоне 1991-1992 состоялось первое пришествие Козлова в ЦСКА. В составе команды Виктора Васильевича Тихонова Козлов провел 11 матчей, в которых набрал 11 очков, после чего отправился выступать в Северную Америку.
Он провел 10 незабываемых сезонов в "Детройт Ред Уингз", где стал одним из ключевых игроков и важным элементом гремевшей в середине 90-х "русской пятерки" Детройта - Федоров-Ларионов-Козлов-Фетисов-Константинов. За время выступления в Городе моторов Козлов дважды становился обладателем Кубка Стэнли и дважды входил в пятерку самых результативных хоккеистов клуба.
Второе пришествие Козлова в ЦСКА - в сезоне 1994/1995, во время первого локаута в НХЛ, Козлов провел 10 матчей за армейский клуб, в которых набрал 7 очков. В 2001 году Козлов в результате обмена оказался в "Баффало" - в обратном направлении последовал вратарь Доминик Гашек. В составе "клинков" Козлов задержался всего на сезон, после чего связал свою карьеру с "Атлантой", одним из новых клубов НХЛ. В Атланте он играл важную роль в становлении команды, все свои 7 сезонов в Джорджии он был ключевым игроком "дятлов". Вместе с Марианом Хоссой и Ильей Ковальчуком Вячеслав Козлов неизменно возглавлял список бомбардиров клуба, а в сезоне 2006-2007 исполнял обязанности ассистента капитана команды. Всего за время выступлений в НХЛ на счету Козлова 853 очка в 1182 матчах.