Юрий Афанасьев родился 5 сентября 1934 года в поселке Майна Ульяновской области. Окончил исторический факультет Московского государственного университета. После института на протяжении девяти лет он работал секретарем комсомольской организации на Красноярской ГЭС. В 1971 году закончил аспирантуру АОН при ЦК КПСС. Дважды стажировался в парижском университете Сорбонна.
В 1972-1981 годах Афанасьев занимал пост доцента кафедры всеобщей истории, проректора по учебной работе ВКШ при ЦК ВЛКСМ. В 1983 году получил назначение редактором по отделу истории и стал членом редколлегии в журнале "Коммунист".
Юрий Афанасьев работал старшим научным сотрудником, завсектором истории культуры зарубежных стран Института всеобщей истории АН СССР; редактором отдела истории, членом редколлегии журнала "Коммунист".
Афанасьев в 1986-1991 годах являлся ректором Московского государственного историко-архивного института. С 1991 до 2003 года был ректором основанного им РГГУ, в 2003-2006 годах являлся президентом вуза.