Климов является воспитанником московского "Локомотива". В сезоне-2018/19 нападающий выступал в составе молодежной команды "железнодорожников". Кирилл принял участие в четырех матчах молодежного первенства России и записал в свой актив один точный удар. В январе 2019 года 18-летний российский футболист перешёл в бельгийский клуб.
В составе "Монако" выступает российский полузащитник Александр Головин, ранее защищавший цвета московского ЦСКА.
Французский клуб провалил прошлый сезон, едва не вылетев из сильнейшего дивизиона страны. Старт нынешнего чемпионата "Монако" тоже не может назвать удачным: два поражения, одна ничья и предпоследнее место в турнирной таблице.