В Минспорттуризме России Геннадий Алешин курировал вопросы развития массовой физической культуры и спорта высших достижений, в том числе возглавлял штаб по контролю за обеспечением подготовки спортивных сборных команд Российской Федерации для участия в XXI Олимпийских зимних играх 2010 года в Ванкувере.
Российская команда неудачно выступила на Олимпиаде в Ванкувере, заняв 11 место в общем зачете. Россияне завоевали 3 золотых, 5 серебряных и 7 бронзовых медалей. По окончании Игр президент России Дмитрий Медведев заявил, что люди, отвечавшие за подготовку спортсменов, должны уйти в отставку.
Свой пост он занимал с момента образования Министерства спорта в 2008 году.
Кроме того, Геннадий Алешин является в настоящий момент вице-президентом Олимпийского комитета России, членом бюро Международной федерации водных видов спорта и вице-президентом Европейской лиги плавания.