Алексей Алексеевич Абрикосов родился в 1928 году в семье известных московских патологоанатомов. В 1948 году закончил с отличием физический факультет МГУ, его учителем был физик-теоретик Лев Ландау. Под его руководством Абрикосов написал кандидатскую диссертацию и в 1951 году защитил ее. В это же время его родителей отстранили от работы в Кремлевской больнице в ходе кампании против так называемых врачей-вредителей, обвиняемых в заговоре и убийстве ряда советских лидеров.
После защиты Абрикосов работал в Институте физических проблем и в 1955 году в возрасте 27 лет защитил докторскую диссертацию по квантовой электродинамике высоких энергий. Большая часть научной карьеры физика в СССР была связана с Институтом теоретической физики имени Л. Д. Ландау, где он работал с 1965-го по 1988 год.
В 1964 году Абрикосов был избран членом-корреспондентом Академии наук СССР, в 1982-м удостоен Государственной премии СССР, в 1972-м - премии им. Ф. Лондона, в 1987-м стал действительным членом Академии наук СССР и оставался академиком РАН до своей смерти, в 1988-м возглавил Институт физики высоких давлений в Троицке.
В 1991 году Абрикосов эмигрировал в США, там он занимался исследовательской работой в Аргоннской национальной лаборатории (штат Иллинойс), а также преподавательской деятельностью. В 1999 году ученый получил американское гражданство, сохранив российское.
Основные научные интересы Абрикосова лежали в области теории сверхпроводимости, физики твердого тела и квантовой жидкости, астрофизики, статистической физики, физики плазмы, квантовой электродинамики. В 1952 году он выдвинул идею о существовании сверхпроводников второго рода, в 1957-м построил теорию магнитных свойств сверхпроводящих сплавов, введя представление о двух критических полях и смешанном состоянии с вихревой структурой токов "вихри Абрикосова".
В 2003 году Абрикосов совместно с Виталием Гинзбургом и Энтони Леггетом стал лауреатом Нобелевской премии за "основополагающие работы по теории сверхпроводников и сверхтекучих жидкостей".