Алексей Ботян родился в 1917 году в Виленской губернии Российской империи (ныне - в Воложинском районе Минской области Белоруссии), в крестьянской семье. В марте 1921 года по итогам Рижского мирного договора между РСФСР и Польшей село Чертовичи вошло в состав польского государства. В 1939 году Алексей Ботян был призван в польскую армию. В звании унтер-офицера 3-го дивизиона зенитной артиллерии командовал расчетом орудия, в сентябре 1939 года после начала Второй мировой войны участвовал в боях с немецкими войсками, напавшими на Польшу. Согласно воспоминаниям Ботяна, его расчет сбил три самолета люфтваффе Junkers Ju 88.
Он отслужил в польской армии и участвовал в боях под Варшавой против немецкой армии в 1939 году. После входа советских войск в Польшу и возвращения Западной Белоруссии и Украины в состав СССР Ботян поступил на службу в НКВД. В составе диверсионно-разведывательного подразделения он участвовал в обороне Москвы, проводил рейды по тылам немецких войск в районе Яхромы Московской области.
В 1942 году проходил специальную подготовку в тылу, осваивал минно-подрывное дело и практику партизанской борьбы. С января 1943 года принимал участие в "рельсовой войне" - уничтожении коммуникаций и линий связи в тылу противника. В составе оперативной партизанской группы "Олимп" прошел с боями по территории Украины, Белоруссии, Польши и Чехословакии. Был заместителем по разведке командира партизанского соединения, капитана госбезопасности Виктора Карасева. Руководил операцией по взрыву немецкого комиссариата в городе Овруч Житомирской области Украинской ССР 9 сентября 1943 года. В результате этой диверсии были уничтожены 80 гитлеровских офицеров. Совместно с подразделениями польской Армии Людовой отряд Алексея Ботяна ("партизана Алеши" - так командира отряда называли поляки) осуществил операцию по захвату города Илжа, в ходе которой из тюрьмы были освобождены подпольщики, захвачено значительное количество оружия и снаряжения.
Одной из самых известных в биографии Алексея Ботяна стала операция по освобождению Кракова зимой 1945 года. Группа, которой командовал Ботян, захватила инженера, который рассказал разведчикам о складе с взрывчаткой, которую нацисты планировали использовать для подрыва исторической части Кракова. Ботяну удалось внедриться под видом грузчика на склад и установить мину, которую привели в действие во время наступления Красной армии. "Взрыв был такой сильный, что не только этот замок полетел вверх, но и все здания, которые там были рядом, все были уничтожены", - рассказывал Ботян. По его словам, нацистское командование планировало взорвать с помощью этой взрывчатки плотину недалеко от Кракова, чтобы затопить город.
Об этих событиях в 1967 году советский писатель Юлиан Семенов написал роман "Майор Вихрь", в том же году экранизированный режиссером Евгением Ташковым. В числе прототипов для собирательного образа майора Красной армии Андрея Бурлакова (Вихря) были Алексей Ботян, будущий Герой Украины Евгений Березняк, а также разведчик и писатель Овидий Горчаков.
После окончания войны Ботян служил во внешней разведке, с 1947 года работал разведчиком-нелегалом на территории Чехословакии. В 1955 году был отозван из Чехословакии в Москву и уволен по сокращению штатов, которое проводилось в рамках реорганизации органов госбезопасности. С апреля 1955-го по 1957 год работал администратором-переводчиком (старшим метрдотелем) в московском ресторане "Прага", при этом поддерживая связь с контрразведкой КГБ. В 1957 году был снова принят на работу в Комитет госбезопасности, получив звание майора.
Во второй половине 1950-х годов Ботян выполнял разведывательные задания за рубежом. В 1965-1972 годах под прикрытием представительства советской авиакомпании "Аэрофлот" работал в Восточном Берлине по линии представительства КГБ при МГБ ГДР. Координировал отношения немецких агентов-нелегалов, находившихся в Западной Германии, с их родственниками на территории ГДР. В мае и июне 1968 года он выполнял ответственные задания в Чехословакии, а в 1983 году был уволен в отставку по возрасту в звании полковника, однако до 1989 года продолжал работать в органах КГБ СССР как гражданский специалист.
Алексея Ботяна трижды представляли к званию Героя Советского Союза (в 1945-м, 1965-м и 1974 годах), однако разведчик так и не был его удостоен. По предположению самого Ботяна, партийных работников смущало, что в 1939 году он служил в польской армии и бежал из плена. Высшую государственную награду ему вручили лишь в мае 2007 года. Ветерану разведки было присвоено звание Героя Российской Федерации с вручением медали "Золотая Звезда" - за мужество и героизм, проявленные в ходе операции по освобождению Кракова в годы Великой Отечественной войны, и за предотвращение его уничтожения немецко-фашистскими захватчиками.
Алексей Ботян также награжден двумя орденами Красного Знамени (1943, 1965), орденами Трудового Красного Знамени и Отечественной войны I степени (1985), орденами Мужества и "За заслуги перед Отечеством" IV (2017), польским Орденом воинской доблести (Virtuti Militari), медалями СССР, Польши и Чехословакии. Почетный гражданин города Илжа (Польша). Лауреат Международной премии Андрея Первозванного "Вера и Верность" за мужество на фронтах Великой Отечественной войны и преданное служение Отечеству (2013).