Вся сценическая деятельность Алексея Грибова связана с Московским художественным театром, куда он пришел по окончании третьей студии МХАТ в 1924 году. Более чем за полвека служения на знаменитой сцене Грибов создал десятки образов в пьесах классиков и современных драматургов. Некоторые из его работ запечатлены в фильмах-спектаклях: "На дне" Горького (Лука), "Мертвые души" Гоголя (Собакевич), "Село Степанчиково" Достоевского (Фома Опискин). А последняя работа - в постановке "Соло для часов с боем", специально созданной Олегом Ефремовым для великих МХАТовских "стариков", где играли Ольга Андровская, Михаил Яншин, Марк Прудкин и Алексей Грибов. До сих пор, по просьбе зрителей, этот фильм-спектакль повторяют по телевидению.
Алексей Грибов снимался много и в кино. Среди картин, где он сыграл, такие всем известные фильмы, как "Свадьба", "Человек в футляре", "Анна на шее", "Шведская спичка". Грибов сыграл в таких популярных кинокомедиях, как "Верные друзья", "Полосатый рейс", "Зигзаг удачи", "Донская повесть", которые смотрит с огромным интересом несколько поколений российских зрителей.
Грибову одинаково удавались комедийные, характерные и даже трагические роли. Артист много работал на радио, и голос Грибова нельзя было спутать ни с каким другим. Свой опыт, секреты МХАТовской школы он передавал многочисленным ученикам.
В 1977 году во время спектакля "Три сестры" у Грибова случился инсульт, некоторое время он не мог говорить. Однако все-таки доиграл спектакль и вышел на поклон. Но на подмостки любимого театра в качестве актера он уже не вернулся.