Марис Лиепа родился в Риге. Он закончил Московское академическое хореографическое училище, затем работал в Московском Музыкальном театре имени Станиславского и Немировича-Данченко, где исполнил главные партии в балетах "Корсар" и "Жанна Д'Арк". С 1960 года Марис Лиепа - в Большом театре.
Критика и публика сразу же отметили выдающееся драматическое дарование танцовщика, его благородный и мужественный стиль. Хотя поначалу актер был обречен лишь на амплуа исключительно характерного танцовщика: он был субтилен и хрупок. Но Лиепа мечтал о роли Зигфрида - принца из "Лебединого озера". Мечтание это стало как бы молитвой, с которой он начинал день. "Под вариации Принца я делал шестьдесят четыре отжима для рук и ног, поднимая штангу", - писал потом Лиепа в своей книге.
Как напоминает сегодня РИА "Новости", ярче всего он заявил о себе в партиях Альберта ("Жизель"), Ромео, Зигфрида ("Лебединое озеро"), Юноши ("Шопениана"). Но, тяготея к романтике, Марис Лиепа был не менее выразителен в ролях героического плана, таких как ставший легендой Красс из "Спартака", Базиль ("Дон-Кихот").
Драматический талант и острая характерность Лиепы проявились в более поздние годы в ролях Вронского и Каренина ("Анна Каренина"), Принца Лимона ("Чиполлино") и многих других. Снимаясь в кино и на телевидении, преподавая в хореографическом училище, осуществляя постановки балетов в разных театрах, везде проявлялся бурный темперамент Мариса Лиепы, его яркая индивидуальность.
Сегодня всему миру известны имена его детей, артистов балета Андриса и Илзе Лиепа.