Георгий Шенгелая родился в Тбилиси 11 мая 1937 года. Отец Георгия Николай Шенгелая был кинорежиссером, мать - известная грузинская актриса Нато Вачнадзе, брат Эльдар Шенгелая - известный кинорежиссер.
В 1961 году Шенгелая окончил режиссерский факультет ВГИКа, тогда же стал работать на киностудии "Грузия-фильм". В конце 1950-х снялся в двух фильмах в качестве актера, в 1962 году поставил свой первый фильм - его дипломной работой стала притча "Алавердоба".
В 1969 году режиссер снял биографический фильм "Пиросмани" о жизни грузинского мастера Нико Пиросмани. Георгию Шенгелая также принадлежат киноленты "Он убивать не хотел" (1966), мюзикл "Мелодии Верийского квартала" (1973) и приключенческий фильм "Хареба и Гоги" (1987). Последний фильм режиссера был снят в 2005 году. Георгий Шенгелая был народным артистом Грузии, лауреатом премии Руставели.