Александр Флярковский родился в Ленинграде. Он учился в хоровой школе при Ленинградской академической капелле, художественным руководителем и главным дирижером которой был народный артист СССР Александр Свешников. В 1944 году школа переехала в Москву, на ее базе было создано Московское хоровое училище. В 1955 году Флярковский окончил Московскую консерваторию имени Чайковского по классу композиции народного артиста СССР Юрия Шапорина.
В 1970-1980 годах композитор занимал должность заместителя министра культуры РСФСР, а с 1980 по 1990 год был секретарем правления Союза композиторов СССР. В это время он также работал заместителем председателя Советского комитета защиты мира. В 1990 году был избран академиком Российской академии кинематографических искусств "Ника".
Александр Флярковский - автор более 300 песен, в том числе на стихи Роберта Рождественского, Инны Кашежевой, Олега Милявского, Леонида Дербенева. Среди самых знаменитых его произведений - "Когда уйдем со школьного двора", "Звездочет", "Кораблик".
Флярковский написал музыку к фильмам "Это случилось в милиции", "Еще раз про любовь", "Розыгрыш", мультфильмам "Песенка мышонка", "Новогоднее приключение", документальным картинам. На счету композитора более десяти ораторий, четыре оперы для детей, шесть симфонических поэм, восемь оперетт, три симфонии, концерты для различных инструментов, фортепианные произведения.
Среди наград Александра Флярковского - орден Почета, орден "За заслуги перед Отечеством" IV степени, российская премия "Победа", орден Культуры (Польша), орден Кирилла и Мефодия (Болгария), медаль Дружбы (Монголия).