Певец родился 28 февраля 1932 года в городе Енакиево Донецкой области. Свою трудовую деятельность Богатиков начал в 1947 году после окончания Харьковского ремесленного училища механиком по ремонту аппаратуры харьковского телеграфа. С 1951 по 1955 годы служил в ансамбле песни и танца краснознаменного Тихоокеанского флота.
После окончания службы на флоте Юрий Богатиков вернулся на харьковский телеграф, где продолжал работать механиком и одновременно учился в харьковском музыкальном училище. После училища в 1959 году работал солистом ансамбля в шахтерском ансамбле песни и танца "Донбасс".
С 1960 по 1974 год был солистом харьковской и ворошиловоградской филармонии. С 1974 до 1992 года Богатиков являлся солистом крымской государственной филармонии, а с 1992 года по настоящее время занимал должность художественного руководителя филармонии по проведению фестивалей и спецмероприятий.
Певческое мастерство Юрия Богатикова было известно далеко за пределами Украины и России. Он успешно гастролировал в Германии, Франции, Польше, Венгрии, Венесуэле, Перу, Италии, Китае, Корее и других странах. Ему принадлежит инициатива создания фестиваля "Песни моря", который стал традиционным в Крыму. Певец также стоял у истоков создания республиканской программы "Новые имена Крыма", который проводится с 1992 года.