Александр Васильевич Ивашкин родился в 1948 году в Благовещенске, в 1971 году окончил Музыкально-педагогический институт имени Гнесиных как виолончелист и музыковед, также занимался дирижированием в Московской консерватории в классе Геннадия Рождественского, Бориса Хайкина и Валерия Полянского.
Более десяти лет (с 1978 по 1990 годы) Ивашкин был солистом оркестра Большого театра и художественным руководителем камерного ансамбля "Солисты Большого театра", а в постперестроечное время возглавил класс виолончели и камерной музыки в Университете Кентербери в Новой Зеландии. С 1999 года был профессором и руководителем факультета исполнительства, а также директором Центра русской музыки в Голдсмит-колледже Лондонского университета, где под его руководством стали регулярно проходить музыковедческие и исполнительские семинары и концерты.
Музыкант гастролировал как виолончелист и дирижер более чем в 40 странах, работал с ведущими мировыми оркестрами, в 1995 году стал художественным руководителем международного фестиваля и конкурса виолончелистов имени Адама.
Оно из последних выступлений Ивашкина состоялось в мае 2013 года в большом зале Санкт-Петербургской филармонии, где он впервые представил публике концерт для виолончели с оркестром Габриэля Прокофьева, как и новое прочтение Концертино для виолончели с оркестром соль-минор Сергея Прокофьева.
Кандидат искусствоведения (1979), доктор искусствоведения (1993), автор 18 книг и более 200 статей, в том числе работ о Святославе Кнушевицком, Мстиславе Ростроповиче, Кшиштофе Пендерецком, Чарлзе Айвзе.
В 1996 году в свет вышла написанная профессором Ивашкиным биография его соотечественника Альфреда Шнитке, до сих пор являющаяся единственным наиболее полным и авторитетным путеводителем по творчеству гения русского авангарда.
Глубокое проникновение в суть музыки Шнитке подкреплялось личной дружбой двух музыкантов: в сентябре 1988 года Шнитке написал Klingende Buchstaben ("Звучащие буквы") специально к 40-летию Ивашкина, взяв за исходный материал монограммы имен юбиляра и своего собственного.
В 2004 году под редакцией Ивашкина был опубликован сборник статей Шнитке о музыке.